第25课时  圆的基本性质

理知识

1.轴  对称轴  中心  圆心

2.相等  相等  相等  相等  相等  相等

3.这条弦  这条弦所对的两条弧  垂直  这条弦所对的两条弧

4.相等  一半  相等

5.直角

6.互补  内对角

授方法

例1  D  例2  4

例3  解：∵ DA⊥AB，∴ ∠DAB＝90°.∴ ∠DCB＝180°∠DAB＝90°.

如图，延长AD，BC交于点E，连接OC，OA，BD，易证∠ABE＝∠EDC.

∴ ＝cos∠EDC＝cos∠ABE＝，∴ ED＝.

∵ cos B＝ ，∴ tan B＝.

在Rt△EAB中，EA＝17×＝，

∴ DA＝EAED＝ ＝6.

例4  (1)证明：∵ 四边形BDCE为菱形，∴ ∠D＝∠BEC.

∵ 四边形ABDC是圆的内接四边形，

∴ ∠A+∠D＝180°.

又∠BEC+∠AEC＝180°，∴ ∠A＝∠AEC，∴ AC＝CE.

(2)证明：如图，以点C为圆心，CE长为半径作⊙C，与BC交于点F，与BC的延长线交于点G，连接AG，CG，EF，则CF＝CG，由(1)知AC＝CE＝CD，∴ CF＝CG＝AC.

∵ 四边形AEFG是⊙C的内接四边形，∴ ∠G+∠AEF＝180°.

又∵ ∠AEF+∠BEF＝180°，∴ ∠G＝∠BEF.

又∵ ∠EBF＝∠GBA，∴ △BEF∽△BGA，

∴ ＝，即BF·BG＝BE·AB.

∵ BF＝BCCF＝BCAC，BG＝BC+CG＝BC+AC，BE＝CE＝AC，

∴ (BCAC)(BC+AC)＝AB·AC，

即＝AB·AC.

(3)解：设AB＝5k，AC＝3k，

∵ ＝AB·AC，

∴ BC＝2k.

如图，连接ED交BC于点M.

∵ 四边形BDCE是菱形，∴ DE垂直平分BC，

则点E，O，M，D共线.在Rt△DMC中，DC＝AC＝3k，MC＝BC＝k，

∴ DM＝＝k，

∴ OM＝ODDM＝3k.

在Rt△COM中，由＝，得＝，

解得k＝或k＝0(舍去)，

∴ BC＝2k＝4.

变式训练1 

变式训练2  C

变式训练3  2

变式训练4  (1)证明：由题意得△ADE≌△ADC，

∴ ∠AED＝∠ACD，AE＝AC.

∵ ∠AED＝∠ABD，∴ ∠ABD＝∠ACD，

∴ AB＝AC，∴ AE＝AB.

(2)解：过点A作AH⊥BE(图略).

∵ AB＝AE，EB＝2，∴ BH＝EH＝1.

∵ ∠ABE＝∠AEB＝∠ADB，cos∠ADB＝，

∴ cos∠ABE＝cos∠ADB＝，∴ ＝，

∴ AB＝3.

∵ ∠CAB＝90°，AC＝AB，∴ BC＝3.

刷题感

1.C 

2.C 

3.D 

4.B 

5.44° 

6.110°

7.解：(1)①∵ ∠AOM＝60°，OM＝OA，

∴ △AMO是等边三角形，

∴ ∠A＝∠MOA＝60°，

∴ ∠MOD＝30°，∠D＝30°，∴ DM＝OM＝10.

②如图①，过点M作MF⊥OA于点F.

设AF＝x，∴ OF＝10x.

∵ AM＝12，OA＝OM＝10，

∴ 由勾股定理可得，＝，

∴ x＝，∴ AF＝.

∵ MF∥OD，∴ △AMF∽△ADO，

∴ ＝，

∴ ＝，∴ AD＝，

∴ MD＝ADAM＝.

①

 

②

 (2)是.如图①，当点M位于之间时，连接BC.

∵ C是的中点，∴ ∠B＝45°.

∵ 四边形AMCB是圆内接四边形，∴ ∠B+∠CMA＝180°.

又∠CMD+∠CMA＝180°，∴ ∠CMD＝∠B＝45°.

如图②，当点M位于之间时，连接BC，

由圆周角定理可知∠CMD＝∠B＝45°.

综上所述，∠CMD＝45°.