第22课时  解直角三角形

理知识

  (2)∠A+∠B＝90°  (3)      

2.    90°∠A      90°∠A  90°∠A      90°∠A  c·sin A 

授方法

例1  A

例2  解：过点A作AD⊥BC于点D(图略)，则AD＝10 m.

∵ 在Rt△ACD中，∠C＝45°，

∴ Rt△ACD是等腰直角三角形，

∴ CD＝AD＝10 m.

在Rt△ABD中，tan B＝，

∵ ∠B＝30°，∴ ＝， ∴ BD＝10 m，

∴ BC＝BD+DC＝(10+10)m.

(2)这辆汽车超速.理由如下：

由(1)知BC＝(10+10)m.

∵ ≈1.7，∴ BC≈27 m，

∴ 汽车速度v≈27÷0.9＝30(m/s).

30 m/s＝108 km/h，

∵ 108＞80，∴ 这辆汽车超速.

例3  解：如图所示，过点P作PC⊥AB交AB的延长线于点C，过点M作MD⊥AB交AB的延长线于点D，设PC的长为x，由题意，得MD＝PC＝x.

∵ AB＝60×1.5＝90(海里)， 在Rt△APC中， ∵∠PAC＝45°，∴ AC＝PC＝x.

在Rt△BPC中， ∵ ∠PBC＝60°， ∴ tan∠PBC＝，∴ BC＝＝＝.

∵ AB＝ACBC，∴ 90＝x，解得x＝45(3+)，

∴ AC＝PC＝45(3+)海里.

∵ 点M在点B的北偏东60°的方向上，∴ ∠MBD＝30°.

在Rt△BMD中，BM＝2MD＝90(3+)海里，

∴ 渔船加速后从点B到点M的时间为＝(小时).

例4  解：在Rt△CDE中，∵ sin C＝，cos C＝，

∴ DE＝sin 30°×DC＝×14＝7(m)，CE＝cos 30°×DC＝×14＝7≈12.12.

由题意知，四边形AFED是矩形，

∴ EF＝AD＝6 m，AF＝DE＝7 m.

在Rt△ABF中，∵ ∠B＝45°，∴ BF＝AF＝7 m，

∴ BC＝BF+EF+EC≈7+6+12.12＝25.12≈25.1(m).

答：该坝的坝高和坝底宽分别为7 m和25.1 m.

例5  解：如图，作CF⊥AB于点F，设AF＝x米，

在Rt△ACF中，∵ tan ∠ACF＝， ∴ CF＝＝＝x米.

在Rt△ABE中，AB＝(4+x)米，tan∠AEB＝，∴ BE＝＝＝(x+4)米.

∵ CFBE＝DE，即(x+4)＝3.

解得x＝，则AB＝+4＝(米).

答：树高AB是米.

例6 

变式训练1  280

变式训练2  解：过D作DE⊥AC于E(图略)，设BE＝x，

则tan 65°＝≈2.14，∴ DE≈2.14x.

tan 45°＝＝1，∴ AE≈2.14x.

∴ AB≈2.14xx＝132，∴ x≈115.8，

∴ DE≈2.14×115.8≈248.

故观景亭D到公路的距离约为248米.

变式训练3  解：过点C作CD⊥AB于点D(图略)，

根据题意得，∠CAD＝90°60°＝30°，∠CBD＝90°30°＝60°，∴ ∠ACB＝∠CBD∠CAD＝30°，∴ ∠CAB＝∠ACB，∴ BC＝AB＝2 km，∴ CD＝BC·sin 60°＝2×＝(km).

故船C到海岸线l的距离是 km.

变式训练4  解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，∠CDA＝90°.

已知∠CAD＝45°，设CD＝x，则AD＝CD＝x，∴ BD＝ADAB＝x5.

在Rt△BDC中，CD＝BD·tan 53°，即x＝(x5)·tan 53°，

∴ x＝≈＝20 ，

∴ BC＝＝≈20÷＝25，

∴ B船到达C船处约需：25÷25＝1(小时).

在Rt△ADC中，AC＝x≈1.41×20＝28.2，

∴ A船到达C船处约需：28.2÷30＝0.94(小时).

而0.94＜1，所以C船至少要等待0.94小时才能得到救援.

变式训练5  解：如图，作MF⊥PQ于F，QE⊥MN于E，则四边形EMFQ是矩形.在Rt△QEN中，设EN＝x，则EQ＝2x.

∵ ＝，∴ 20＝，

∵ x＞0，∴ x＝2，∴ EN＝2，EQ＝MF＝4.

∵ MN＝3，∴ FQ＝EM＝1.

在Rt△PFM中，PF＝FMtan 60°＝4，

∴ PQ＝PF+FQ＝4+1.

故信号塔PQ的高为(4+1)米.

刷题感

1.C 

2.D 

3.C 

4.B 

5.A 

6.30 

7.8 

8.8或24 

9.5.49 

10.2

11.解：作CE⊥BD于E，AF⊥CE于F(图略)，

得四边形AHEF为矩形，

∴ EF＝AH＝3.4 m，∠HAF＝90°，

∴ ∠CAF＝∠CAH∠HAF＝118°90°＝28°.

在Rt△ACF中，∵ sin ∠CAF＝，

∴ CF＝9×sin 28°≈9×0.47＝4.23，

∴ CE＝CF+EF＝4.23+3.4≈7.6.

答：操作平台C离地面的高度约为7.6 m.

12.解：如图，过点B作BF⊥CE，交CE于点F，过点A作AG⊥BF，交BF于点G，则FG＝AC＝11.

由tan β＝，

故设BF＝3x，则EF＝4x.

在Rt△BDF中，∵ tan α＝＝6，∴ DF＝＝.

∵ DE＝18，∴ +4x＝18.∴ x＝4.

∴ BF＝12，∴ BG＝BFGF＝1211＝1.

∵ ∠BAC＝120°，∴ ∠BAG＝120°90°＝30°，

∴ AB＝2BG＝2.

答：灯杆AB的长度为2米.