第20课时  特殊的平行四边形

理知识

1.一个角是直角

2.(1)平行且相等  (2)都是直角  (3)相等且互相平分  (4)轴  中心

3.(1)直角  (2)直角  (3)相等

4.一组邻边相等

5.(1)平行  相等  (2)互相平分且垂直  每一组对角  (3)轴  中心  (4)底×高或对角线之积的一半

6.(1)相等  (2)相等  (3)垂直

7.一组邻边相等且有一个角是直角

8.(1)平行  相等  (2)直角  (3)相互垂直平分且相等  每一组对角  (4)轴  中心

9.邻边相等  对角线相等

授方法

例1  A

例2  (1)证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，

∴ AD∥CE，

∴ ∠DAF＝∠EBF.

∵ ∠AFD＝∠EFB，AF＝FB，

∴ △AFD≌△BFE，∴ AD＝EB.

∵ AD∥EB，

∴ 四边形AEBD是平行四边形.

∵ DB＝DA，∴ 四边形AEBD是菱形.

(2)解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，

∴ CD＝AB＝，AB∥CD，

∴ ∠ABE＝∠DCB，

∴ tan∠ABE＝tan∠DCB＝3.

∵ 四边形AEBD是菱形，

∴ AB⊥DE，AF＝FB，EF＝DF，

∴ tan∠ABE＝＝3.

∵ BF＝，∴ EF＝，∴ DE＝3，

∴ ＝·AB·DE＝··3＝15.

例3  (1)证明：∵ ∠BAF+∠DAE＝90°，∠ADE+∠DAE＝90°，

∴ ∠BAF＝∠ADE.

在Rt△DEA和Rt△AFB中 ，

∠DEA＝∠AFB，∠ADE＝∠BAF，DA＝AB，

∴ Rt△DEA≌Rt△AFB，

∴ AE＝BF.

(2)解：设AE＝x，则BF＝x，

∵ 四边形ABED的面积为24，DE＝AF＝2，

＝，即24＝AE·BF+DE·AE，

∴ 24＝·x·x+×2×x，

即+×2x＝24，

解得＝6，＝8(舍去)，

∴ EF＝AEAF＝62＝4.

在Rt△BEF中，∵ BF＝AE＝6，BE＝＝＝2，

∴ sin∠EBF＝＝＝.

变式训练1  75°

变式训练2  (1)证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ ∠B＝∠D.

∵ AE⊥BC，AF⊥CD，∴ ∠AEB＝∠AFD＝90°.

又BE＝DF，∴ △AEB≌△AFD，∴ AB＝AD，

∴ 平行四边形ABCD是菱形.

(2)连接BD交AC于O(图略).

∵ 四边形ABCD是菱形，AC＝6，

∴ AC⊥BD，AO＝OC＝AC＝×6＝3.

∵ AB＝5，AO＝3，

∴ BO＝＝＝4，

∴ BD＝2BO＝8，

∴ ＝×AC×BD＝24.

变式训练3  (1)证明：∵ 点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点，

∴ FH∥BE，FH＝BE，BF＝CF，∴ FH＝BG，∠CFH＝∠CBG，∴ △BGF≌△FHC.

(2)解：连接EF，GH(图略).

由四边形EGFH是正方形，可得EF⊥GH且EF＝GH.

∵ 点G，H分别是BE，CE的中点，

∴ GH＝BC＝AD＝a，且GH∥BC，

∴ EF⊥BC.

∵ AD∥BC，AB⊥BC，

∴ EF＝AB＝GH＝a，

∴ 矩形ABCD的面积＝AB·AD＝a·a＝.

刷题感

1.B 

2.A 

3.C 

4.B 

5.D 

6.(2，6) 

7. 

8.30°或150°

9.(1)证明：∵ 四边形ABCD是正方形，

∴ OA＝OB，∠DAO＝45°，∠OBA＝45°，

∴ ∠OAM＝∠OBN＝135°.

∵ ∠EOF＝90°，∠AOB＝90°，

∴ ∠AOM＝∠BON，

∴ △OAM≌△OBN(ASA)，

∴ OM＝ON.

(2)解：过点O作OH⊥AD于点H(图略)，

∵ 正方形的边长为4，∴ OH＝HA＝2.

∵ E为OM的中点，∴ HM＝4，

则OM＝＝2，∴ ON＝OM＝2，

∴ MN＝＝2.

10.(1)证明：∵ AF＝FG，∴ ∠FAG＝∠FGA.

∵ AG平分∠CAB，∴ ∠CAG＝∠FAG，

∴ ∠CAG＝∠FGA，∴ AC∥FG.

∵ DE⊥AC，∴ FG⊥DE.

∵ FG⊥BC，∴ DE∥BC，∴ AC⊥BC，

∴ ∠C＝∠DHG＝90°，∠CGE＝∠GED.

∵ F是AD的中点，FG∥AE，∴ H是ED的中点，

∴ FG是线段ED的垂直平分线，

∴ GE＝GD，∠GDE＝∠GED，

∴ ∠CGE＝∠GDE，

∴ △ECG≌△GHD.

(2)证明：如图，过点G作GP⊥AB于P，∵ AG平分∠CAB，∴ GC＝GP.

又AG＝AG，∴ △CAG≌△PAG，∴ AC＝AP.

由(1)可得EG＝DG，∴ Rt△ECG≌Rt△DPG，

∴ EC＝PD，∴ AD＝AP+PD＝AC+EC.

(3)解：四边形AEGF是菱形.

理由：∵ ∠B＝30°，∴ ∠ADE＝30°，

∴ AE＝AD，∴ AE＝AF＝FG.

由(1)得AE∥FG，∴ 四边形AEGF是平行四边形.

又AE＝AF，∴ 平行四边形AEGF是菱形.