第19课时  平行四边形

理知识

1.两组对边分别平行

2.①平行  相等  ②相等  互补  ③互相平分  ④中心  对称中心

3.①平行  ②相等  ③平行且相等  ④相等  ⑤互相平分

授方法

例1  D

例2  (1)证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，

∴ AF∥CD，AB＝CD，∴ ∠FAG＝∠CDG.

∵ G为AD的中点，∴ GA＝GD.又∠AGF＝∠DGC，

∴ △AGF≌△DGC(ASA)，∴ AF＝CD.

又∵ AB＝CD，∴ AB＝AF.

(2)解：四边形ACDF是矩形.

证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，

∴ ∠BAD＝∠BCD＝120°，∴ ∠FAG＝60°.

由(1)得AB＝AF，∴ AB＝AG＝AF，∴ △AFG是等边三角形，∴ AG＝GF.

∵ AF＝CD，AF∥CD，∴ 四边形ACDF是平行四边形，∴ AD＝2AG.

∵ CF＝2FG，∴ AD＝CF，∴ 四边形ACDF是矩形.

例3  (1)证明：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，

∴ ∠ABC＝60°.

在等边△ABD中，∠BAD＝60°，

∴ ∠BAD＝∠ABC＝60°.

∵ E为AB的中点，

∴ AE＝BE.

又∵ ∠AEF＝∠BEC，

∴ △AEF≌△BEC.

在△ABC中，∠ACB＝90°，E为AB的中点，

∴ CE＝AB，∴ CE＝AE，

∴ ∠EAC＝∠ECA＝30°，

∴ ∠BCE＝∠EBC＝60°.

又∵ △AEF≌△BEC，

∴ ∠AFE＝∠BCE＝60°.

又∵ ∠D＝60°，∴ ∠AFE＝∠D＝60°.

∴ FC∥BD.

又∵ ∠BAD＝∠ABC＝60°，

∴ AD∥BC，即FD∥BC，

∴ 四边形BCFD是平行四边形.

(2)解：在Rt△ABC中，∵ ∠BAC＝30°，AB＝6，∴ BC＝AB＝3，AC＝BC＝3.

由(1)知四边形BCFD为平行四边形，∴ DF＝BC＝3，

∴ ＝3×3＝9.

变式训练1  4

变式训练2  证明：(1)∵ AE＝CF，∴ AE+EF＝CF+FE，即AF＝CE.

又四边形ABCD是平行四边形，

∴ AD＝CB，AD∥BC.

∴ ∠DAF＝∠BCE.

在△ADF与△CBE中，

∴ △ADF≌△CBE(SAS).

(2)∵ △ADF≌△CBE，∴ ∠DFA＝∠BEC.

∴ DF∥EB.

变式训练3  解：(1)选①④.

∵ AD∥BC，∴ ∠DAC＝∠BCA，∠ADB＝∠DBC.

又OA＝OC，∴ △AOD≌△COB.

∴ AD＝BC.

∴ 四边形ABCD为平行四边形.

(2)选②④.反例：如图，一组对边平行，另一组对边相等，可以构成等腰梯形.

刷题感

1.D 

2.A 

3.B 

4.16 

5.14 

6.36° 

7.或

8.(1)证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OB＝OD，OA＝OC.

又∵ AE＝CF，∴ OAAE＝OCCF，即OE＝OF.

在△DOE和△BOF中，∴ △DOE≌△BOF.

(2)解：四边形EBFD是矩形.理由如下：

如图，连接BE，DF.

∵ BD，EF相交于点O，

OD＝OB，OE＝OF，

∴ 四边形EBFD是平行四边形.

又∵ BD＝EF，∴ 四边形EBFD是矩形.

9.证明：(1)∵ 四边形ABCD是平行四边形，

∴ AB∥DF，

∴ ∠BAE＝∠CFE.

又∵ BE＝EC，∠AEB＝∠CEF，∴ △AEB≌△FEC，∴ AB＝CF.

(2)如图，连接AC.

∵ 四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝90°，

∴ 四边形ABCD是矩形，

∴ BD＝AC.

∵ AB＝CF，AB∥CF，

∴ 四边形ACFB是平行四边形，

∴ BF＝AC，∴ BD＝BF.